日本一の一覧
以前、数の数え方で、「億」や「兆」よりも大きい「京」という単位があることを教えてもらいました。 ところで、「京」より大きな数の数え方ってあるんですか？ もちろんあるよ！京の次は「垓」だ。 それより大きい数は、以下のように続いていく。 だから、100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000だね。 すごい大きいんですね！ もうここまで来ると、現実世界で使われることは無い。 せっかくなので、世界一大きな数のお話をしよう。 恐怖の再帰 ところで、掛け算のルールってしってる？ ルール？ですか？ そう、かけ算をするときに使う決まり事のことだ。 数学では「定義」と言ったりもする。 その通りだ。 でも、こんなの当たり前ですよね？ うん、そうだけど… 実は、かけ算のルールは、他にもあるんだ！ はるかが言った、さっきのルールを使わずに、こんなルールを使っても、かけ算が計算できる。 ぽんさんのかけ算のルール ホントだ！計算できました。 同じかけ算なのに、ルールがいくつもあるって、なんだか面白いですね！ そうだね！ よく見てみると、はるかの定義では、「かけ算をたし算」に変換している。 でも、俺のルールは「かけ算はかけ算」のままだ。 このように、「あるものを、あるもので定義する」ことを、「再帰的な定義」というんだ。 かけ算のルールの比較 今回のぽんさんの例は、「かけ算をかけ算」で定義しているから、「再帰的」ってことですね！？ そう。 再帰というのは、例えば、かけ算を計算しても、 再びかけ算に 帰ってくる、というイメージかな。 この「再帰的定義」が、大きな数に関係あるんですか？ そうだよ。 大きな数を作るのには、基本的にこの「再帰的定義」が用いられる。 例を挙げると、「指数」や「階乗」なども、全て再帰的定義で表現できる。 そうなんですね。 0をいっぱい書かなくていいので、簡単ですね！ そうだね！ でも、ここで数学者は「指数でも表現できないほど大きな数」を考えたんだ。 その数は、数学で使われた世界一大きな数として、ギネスブックにも載っている。 ギネスブックに！？それってどれだけ大きいんですか？ 気になる？ はい！ じゃあ計算してみよう。 タワー表記 まず、タワー表記というものを考える。 タワーですか？ そう、例えば、指数表記では、数字を右上に小さく書くことで、ある数を表現してきたよね。 でも、今から考える大きな数は、大きすぎて指数では表せない。 だから、タワー表記という新しい数の表し方を考える。 いろいろな数の表し方 なんだかおもしろそうです！ はじめは簡単だ。 以下のルールを覚えよう。 ということだ。 でもそれじゃ、わざわざ「タワー表記」を考える必要なくないですか？ まあまあ、そのうち分かるよ。 「矢印の右が1なら左の数」と覚えよう。 まだ簡単だ。 でも、おもしろいのはこれからだよ。 文字がいっぱい使われていて難しいからね。 はい… でも、理解して欲しいのは、このルールが、俺がさっき紹介した、かけ算のルールとよく似ていることだ。 あ、本当です！再帰的です！ じゃあ実際にちょっと計算してみよう。 矢印は2つ。 さっきのルールを使えば、こんな感じで、どんどん計算できる。 右側から計算しないといけないね。 だから、3を27回かければ答えがわかる。 今、パソコンで計算してみたけど、7625597484987だね。 約7兆だ。 え、ちょ、ちょっと待って下さい。 この規則に従う限り、そうなるんだよ。 矢印3つ… いくよー ちょ、ちょっとまってください！ これ、いつまで続くんですか？ 式をよく観察すればわかるけど、1回計算するごとに、右側の数字が1ずつ減っている。 ということは… あと、約7兆回計算するということだね。 ひいい… ちなみに計算し終わるとこうなる。 うっ… これって、普通の数字で表せないんですか？ 残念ながらここまで来ると無理だ。 もう我々人類が想像できる範囲の数を遥かに超えているからね。 でも、どれぐらい大きな値なんでしょう？ うーん、じゃあ、ちょっとだけ計算してみようか。 求めたいものは、3を7兆回繰り返している。 もちろん、それを一気に計算するのは無理だから、2回繰り返した時、3回繰り返した時、と順番に見ていこう。 計算するとこんな感じだ。 すごいですね… でも、これでも3の3の3の3乗乗乗だよ。 たった4回繰り返しただけだ。 じゃあ、3の3の3の3の3の3の3の3の3の…[約7兆回繰り返す]…3の3の3乗乗…[約7兆回繰り返す]…乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗っていくらだろうって思うと、なんか凄いよね。 ギネス記録まではまだまだだよ！ えっ…まだあるんですか！！ うん。 でも疲れたから、先に結論を言おう。 結論を言うと、ギネス記録に載ってる世界一大きな数は「グラハム数」と呼ばれている。 いま、矢印を使ったタワー表記というのを学習してきたよね。 矢印の数が増えるほど、人間の予想を遥かにこえる勢いで、爆発的に数が増えていくことが分かった。 はい、矢印2つでいきなり7兆倍とか出てきて、矢印3つになると、全く理解できないくらい大きな数が出てきました。 グラハム数もこのタワー表記を利用して表現できる。 矢印4つ… ここで驚いてはダメだ。 3とか10とか500とかとおんなじ、ある「数」を表している。 …はい。 … もう、全く何がなんだかさっぱりです… 正直、誰もこの数の大きさを理解できないよ。 現実的に考えられるどれだけ大きな数を持ってきたとしても、グラハム数の64回の繰り返しの内の、一番最初に考える数にも及ばない。 それぐらい大きな数なんだよ。 すごいですね… Wikipediaにもいろいろと書いてあるので、見てみるとおもしろいよ！ また読んでみます！ ここまでいろいろと見てきたけど、数学を使えば、感覚的に理解できないものが扱えるんだ。 数学は時に人間の想像を超える。 人間が理解できない世界へ、「ここではないどこか」へ、数学は我々を導いてくれるんだ。 ここではないどこか… 数学者ってなんかすごいですね….
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