ベクトル 微分。 位置・速度・加速度と微分

ベクトルの微分、ベクトルで微分

ベクトル解析 ベクトル解析 高校レベルで習うベクトル演算は 内積程度ですが、その他にも多くの定義された演 算があります。 まずは、復習をする意味で内積の定義から始めましょう。 ただし、ベ クトルは太字の イタリック体で表しています。 例えば、ベクトルの 成分表示は次のよ うになります。 Ａ＝（A X、A Y、A Z） １．内積 皆さんがご存じのように、内積の定義は以下のようになります。 上図においては、ベクトルを表すためにアルファベットの上に 矢印を付けました。 ベクトルの 微分は以下のように定義されます。 ２．外積 外積は内積と共に、 ベクトル演算における掛け算に相当するもので、 内積の計算 の結果は スカラーになりますが、外積の計算の結果は ベクトルになります。 では、外積の定義を示します（図２参照）。 Ａ X Ｂ は Ａ と Ｂ の両方に対して 垂直であることに注意してください。 そして、 Ａ X Ｂ の向きは Ａ から Ｂ に向かってネジを回したときの進む方向となって います。 よって、 （ Ａ Ｘ Ｂ ）・ Ａ ＝（ Ａ Ｘ Ｂ ）・ Ｂ ＝ ０ は容易に類推できます。 ベクトルの外積を使えば、 三角形の 面積や六面体の 体積をコンパクトな形で表現 できます。 また、以下の六面体の体積Vは V＝（ A X B ）・ C と表現できます（図４参照）。 上の二つの関係を、 ベクトルの内積や外積の定義にもどって 証明してみてください。 物理でも頻繁に使われる、ベクトルの外積の微分を考えてみます。

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ベクトルの線積分

記号の定義 以下の記号で統一的に定義しておく。 ベクトルは原則として列ベクトル表示を標準とする。 1 2 3 4 5 6 ベクトル・行列をスカラーで微分 これらは素直にベクトル・行列の要素を微分すればよい。 7 8 スカラーをベクトルで微分 スカラーを のベクトルで微分すると、同じ次数のベクトルになる。 9 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 10 スカラーを行列で微分 スカラーを の行列で微分すると、同じ次元・次数の行列になる。 11 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 12 ベクトルをベクトルで微分 この場合、微分する変数側を行ベクトルとするか、微分される関数側を行ベクトルとするか2通りの表現があるが、ここでは変数側を行ベクトルとする。 13 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 14 公式 一般形 単位行列 ベクトルを同じベクトルで微分すると、単位ベクトルではなく単位行列になる。 15 合成関数 スカラーの合成関数と似ているが、イメージと積の順番が逆で、この順番は変えられない。 16 これは以下のように確認できる。 17 積の微分 行列の積のスカラーによる微分 18 これは素直に次のように確認できる。 23 ［証明］ 24 25 投稿ナビゲーション.

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なんで位置ベクトルを微分すると速度ベクトルになって速度ベクトルを微分...

ベクトル解析 ベクトル解析 高校レベルで習うベクトル演算は 内積程度ですが、その他にも多くの定義された演 算があります。 まずは、復習をする意味で内積の定義から始めましょう。 ただし、ベ クトルは太字の イタリック体で表しています。 例えば、ベクトルの 成分表示は次のよ うになります。 Ａ＝（A X、A Y、A Z） １．内積 皆さんがご存じのように、内積の定義は以下のようになります。 上図においては、ベクトルを表すためにアルファベットの上に 矢印を付けました。 ベクトルの 微分は以下のように定義されます。 ２．外積 外積は内積と共に、 ベクトル演算における掛け算に相当するもので、 内積の計算 の結果は スカラーになりますが、外積の計算の結果は ベクトルになります。 では、外積の定義を示します（図２参照）。 Ａ X Ｂ は Ａ と Ｂ の両方に対して 垂直であることに注意してください。 そして、 Ａ X Ｂ の向きは Ａ から Ｂ に向かってネジを回したときの進む方向となって います。 よって、 （ Ａ Ｘ Ｂ ）・ Ａ ＝（ Ａ Ｘ Ｂ ）・ Ｂ ＝ ０ は容易に類推できます。 ベクトルの外積を使えば、 三角形の 面積や六面体の 体積をコンパクトな形で表現 できます。 また、以下の六面体の体積Vは V＝（ A X B ）・ C と表現できます（図４参照）。 上の二つの関係を、 ベクトルの内積や外積の定義にもどって 証明してみてください。 物理でも頻繁に使われる、ベクトルの外積の微分を考えてみます。

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